En simpel epidemimodel (SIR).

Modellens ingredienser

Modellen forbinder tre størrelser, som varierer med tiden. For ethvert givet tidspunkt t drejer det sig om:

1. Antallet af modtagelige for smitten, M(t)
2. Antallet af Smittebærere, S(t)
3. Antallet af Immune (herunder døde), I(t)

Antallene ændres som følge af to processer

1. Ved smitning overføres personer fra gruppen af modtagelige til gruppen af smittebærere.
2. Ved immunisering og død overføres personer fra gruppen af smittebærere til gruppen af immune.

Smittehastigheden

Antallet der smittes i et bestemt tidsinterval af længden T afhænger direkte af hvor mange modtagelige og smittefarlige der er ved tidsrummets start. Modellen antager at antallet S₊ af personer som smittes i et tidsinterval er proportionalt med antallet af smittebærere  og med antallet af modtagelig og med tidsintervallets længde. Det vil sige at hvis man (hypotetisk) forestiller sig en situation hvor der er dobbelt så mange smittefarlige men et uforandret antal modtagelige, så vil der være dobbelt så mange som smittes. Og tilsvarende hvis der er uforandret antal smittefarlige og dobbelt så mange modtagelige. Vi har altså formlen:

• S₊ = b x M x S x T

for antallet S₊ af personer som bliver smittede i perioden, hvor b er en konstant.Tag for eksempel b=1/100000. Som tidsenhed tager vi en uge.

Hvis der ved begyndelsen af en uge er S=700 og M=100000 vil der på en dag blive smittet

          1/100000 x 700 x 100000 x 1/7=100 personer.

Vi kalder b for smittekonstanten, som ikke er det samme som smittehastigheden. (Vi kunne passende definere smittehastigheden som antal nysmittede per tidsenhed, det er så k x M x S, i eksemplet bliver det 700 per tidsenhed. Smitteraten kunne man passende definere som den faktor man skal gange antallet af smittede med for at få tilvæksten, her altså b x M, hvilket i eksemplet giver 1, svarende til en fordobling per tidsenhed).

Immuniseringhastigheden

 Antallet som bliver immune i et bestemt tidsinterval af længden T afhænger direkte af antallet af smittede og længden af tidsintervallet. Igen simpel proportionalitet

• I₊ = k x S x T.

hvor k er en konstant.

Er for eksempel k=0.35 vil der på 1 dag blive immuniseret 0.35 x 700 x 1/7=35 personer. Vi kalder k for immuniseringskonstanten og kan definere immuniseringshastighed og immuniseringsrate analogt med ovenfor.

Det samlede regnskab, og næste skridt

Nu kender vi ændringerne og kan beregne de nye værdier

• Den ny værdi af M bliver M-S₊
• Den ny værdi af S bliver S+S₊-I₊
• Den ny værdi af I bliver I+I₊

Nu tager vi de nye værdier som udgangspunkt for beregning af et nyt tidsinterval. Og sådan kan vi blive ved. Man kunne sætte det ind i et regneark.

Hvert interval har en række: de tre første værdier M,S,I foreligger. Herdfra beregnes de to sidste og derefter kan man beregne de tre første i den næste række.

Her er et skema med de første 20 tidsintervaller. Der er regnet med en tidsenhed på en uge og opdateringen er foretaget daglig, men for sammenligningens skyld kun anført ugevis. Bemærk at første række svarer til beregningerne ovenfor.

Til sammenligning er der i tabellen til venstre benyttet ugentlig opdatering.

Man kan bemærke at der er forskel på de resultater som svarer til samme tidspunkt. Dette skyldes at de tal man bruger til at beregne ændringerne er tallene fra begyndelsen af intervallet, men disse tal ændrer sig jo selv gradvist i løbet af tidsrummet, selvom de først modificeres ved slutningen. Derfor bliver resultaterne nøjagtigere (dvs tættere på modellen) jo kortere opdateringsintervaller man benytter. I matematikken har man en metode til at give dt mening og beregne, hvad der ville ske, hvis opdateringsintervallet er uendelig lille. Det fører til studiet af differentialligninger, og hvis du ikke har erfaringer med differentialregning kan du nok stå af her.

Differentialligningerne.

Matematikken giver det mening at tale om øjeblikkelig hastighed, ved at formulere ideen om at lade tidsintervallet blive mindre og mindre. Det indgår i gymnasiepensum. Det gør det muligt at formulere modellen meget simpelt ved hjælp af

de tre differentialligninger

• M'=-bMS
• S'=bMS-kS
• I'=kS

og de tre begyndelsesbetingelser, vi tager værdierne fra eksemplet:

• M(0)=100000
• S(0)=700
• I(0)=0

En af fordelene ved differentialligninger er at i nogle tilfælde kan man finde konkrete udtryk for løsningerne. Det kan man godt nok ikke i dette tilfælde, men man kan alligevel bestemme løsningen med meget stor nøjagtighed, når man kender begyndelsesbetingelserne: De løsninger er tegnet ind i følgende diagrammer (som kurver), hvor de kan sammenlignes med tabellerne ovenfor, (pindene). Enheden på y-axen er antal tusinder.

rød: modtagelig,  grøn: smittede, blå: immune, 

Pindediagrammer for ugevis og dagvis opdatering sammen med løsningen til differentialligningen (kurverne)

Bemærk at allerede ved den daglige opdatering (til højre) stemmer de tilnærmede værdier godt overens med "de sande", altså med differentialligningen. Her følger en tabel, der kan bruges til sammenligning mellem den til højre og så en beregning med opdatering en gang i timen. Der er ikke nogen synlig forskel fra den sande med denne hyppige opdatering. Faktisk er en af de metoder man bruger til at løse differentialligninger netop at gå frem trinvist med tilpas små skridt. Dette omtales som Eulers metode (eller Eulerintegration). Løsningen ovenfor er dog foretaget med mere avancerede metoder, formodentlig den såkaldte Runge-Kutta metode. I praxis spiller disse afvigelser ikke nogen rolle. Set ud fra et matematisk synspunkt er det dog interessant at se på metodens nøjagtig hed. Så her følger tallene for henholdsvis en dag og en time brugt som opdateringsinterval

Forskellene er under 5%. Da det ser ud som om der ikke er særlig forskel på den beregning der bruger timeopdatering, er der grund til at tro at vi har en god tilnærmelse til den rigtige løsning. For at checke det følger her en tabel med værdierne fra løsningen af differentialligningerne:

For sjov kan vi jo se på hvad der sker med opdatering hvert minut, der går 10080 minutter på en uge.

Nu er der slet ingen forskel. Jeg har kontrolleret at man også er nød til så hyppig opdatering for at få fuldstændig overensstemmelse (med 5 betydende cifre)

Lidt om fastsættelse af konstanterne

Ovenfor afhænger konstanterne af den totale population. Hvis man i stedet regner med procentdele af den samlede population får man nogle konstanter som kan oversættes til enhver situation. Så kan man sætte konstanterne b og k i direkte forbindelse med nogle letforståelige størrelser, nemlig smittefordoblingstiden d og smitteperiodens længde i, idet der gælder at

• b d=Log(2)/P
• k i=1

hvor P er den samlede population.